Binomialmodell Wahrscheinlichkeiten - Investment and Project Valuation

Joachim Kuczynski, 24. Oktober 2023

Einleitung

In diesem Artikel möchte ich die Abhängigkeit des Optionswerts von der Eintrittswahrscheinlichkeit der realen (binomialen) Zustände innerhalb des Modells von Cox, Ross and Rubinstein darstellen. Auch in der Literatur ist mancherorts zu lesen, dass die risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten und damit die Optionswerte nicht von den Wahrscheinlichkeiten der Realzustände abhängen. Die Optionswerte hängen aber implizit sehr wohl von ihnen ab. Dies möchte ich in diesem Post kurz darstellen und herleiten.

Binomialmodel von Cox, Ross und Rubinstein

Optionen können mit dem Binomialmodell von Ross, Cox and Rubinstein bewertet werden. Der Optionswert $C_0$ zum Zeitpunkt $t=0$ ist:

$C_0=\frac{\alpha C_{u,t_1}+(1-\alpha )C_{d,t_1}}{(1+r)^T }$

$C_{u,t_1}$ and $C_{d,t_1}$ sind die Optionswerte der up und down Entwicklungen zum Zeitpunkt $t_1$ . $r$ ist der risikofreie (bzw. zuschlagsfreie) Zinssatz und T die Zeit zwischen $t_0$ und $t_1$ . $\alpha$ ist hierin die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit der up Bewegung in $t_1$ , $1-\alpha$ ist die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit der down Bewegung in $t_1$ . Das Binomialmodel stellt uns folgende Beziehung zur Verfügung:

$\alpha=\frac{(1+r)^T-d}{u-d}$

Einsetzen von $\alpha$ liefert uns diese Darstellung für $C_0$ :

$C_0=\frac{\frac{(1+r)^T-d}{u-d} C_{u,t_1}+(1-\frac{(1+r)^T-d}{u-d} )C_{d,t_1}}{(1+r)^T }$

Nach einer kleinen Umformung erhalten wir:

$C_0=\frac{( (1+r)^T-d ) C_{u,t_1}+(u-(1+r)^T )C_{d,t_1}}{(1+r)^T (u-d)}$

$u$ und $d$ sind definiert als die Verhältnisse von up und down Entwicklung zum Erwartungswert des Zustands in $t_0$ , $EV(S_{t_0})$ :

$u= \frac{EV(S_{t_0})}{S_{u,t_1}}$

$d= \frac{EV(S_{t_0})}{S_{d,t_1}}$

Bis jetzt sind die Wahrscheinlichkeiten von Zustand up $S_{u,{t_1}}$ und Zustand down $S_{d,{t_1}}$ nicht vorgekommen. Vielfach wird nun argumentiert, dass die Wahrscheinlichkeiten der beiden Realzustände den Optionswert nicht beeinflussen. Dies stimmt nicht. Der Erwartungwert von Zustand $S_{t1}$ und damit von $S_{t0}$ hängen von diesen Wahrscheinlichkeiten ab. Der Erwartungswert des Zustands in $t_0$ ist der diskontierte Wert des Zustands in $t_1$ . Mit $D$ als jährlichen kostanten Diskontierungsrate erhalten wir:

$EV(S_{t_0})=\frac{EV(S_{t_1})}{(1+D)^T}=\frac{pS_{u,{t_1}}+(1-p)S_{d,{t_1}}}{(1+D)^T}$

Für $u$ und $d$ erhalten wir:

$u=\frac{EV(S_{t_0})}{S_{u,t_1}}=\frac{pS_{u,{t_1}}+(1-p)S_{d,{t_1}}}{S_{u,t_1}(1+D)^{T}}$

$d=\frac{EV(S_{t_0})}{S_{u,t_1}}=\frac{pS_{u,{t_1}}+(1-p)S_{d,{t_1}}}{S_{d,t_1}(1+D)^{T}}$

Das Endergebnis lautet nun:

$C_0=\frac{( (1+r)^T-\frac{pS_{u,{t_1}}+(1-p)S_{d,{t_1}}}{S_{d,t_1}(1+D)^{T}}) C_{u,t_1}}{(1+r)^T ( \frac{{pS_{u,{t_1}}+(1-p)S_{d,{t_1}}}}{{S_{u,t_1}(1+D)^{T}}}-\frac{{pS_{u,{t_1}}+(1-p)S_{d,{t_1}}}}{{S_{d,t_1}(1+D)^{T}}})}+$

$+\frac{(\frac{{pS_{u,{t_1}}+(1-p)S_{d,{t_1}}}}{{S_{u,t_1}(1+D)^{T}}}-(1+r)^T )C_{d,t_1}}{(1+r)^T ( \frac{{pS_{u,{t_1}}+(1-p)S_{d,{t_1}}}}{{S_{u,t_1}(1+D)^{T}}}-\frac{{pS_{u,{t_1}}+(1-p)S_{d,{t_1}}}}{{S_{d,t_1}(1+D)^{T}}})}$

Dies ist die grundlegende Beziehung zwischen Optionswert zum Zeitpunkt $t_0$ und expliziten problemspezifischen Variablen.

Ergebnis

Wir sehen, dass der Optionswert $C_0$ explizit von den Wahrscheinlichkeiten $p$ und $1-p$ der realen up $S_{u,t_1}$ und down Zustände $S_{d,t_1}$ abhängt. Das wollten wir zeigen. q.e.d.

Einleitung

Binomialmodel von Cox, Ross und Rubinstein

Ergebnis

Schreibe einen Kommentar Antworten abbrechen