## CRR Binomial Method

Das Binomialmodell von Cox-Ross-Rubinstein aus dem Jahr 1979 ist der Grundstein für die klassische Optionsbewertung von Finanztiteln. Aber auch für die Bewertung von Realoptionen ist es das zentrale Modell, mit welchem flexibel unterschiedliche Optionsarten simultan analysiert werden können.

## Binomial Model vs. Black Scholes

Joachim Kuczynski, 06 December 2022

There are two basic ways to evaluate real options. The first way is the evaluation with exact analytical approaches like the famous Black Scholes Merton model. They have their origin in financial option pricing and deliver exact results. But they have certain underlying conditions that do not match reality of real options many times. The second basic approach to evaluate real options are discrete approximative models like the Binomial Model from Cox, Ross and Rubinstein. They are approximations of the exact analytical solutions when they have the same underlying conditions. In my real option analysis I prefer the approximative approach because of many reasons:

• Volatility: The volatility, or risk respectively, defines the variance of the binomial tree branches (ups and downs). Volatility can change over time because of many reasons. But in the Black Scholes Merton model volatility is fixed for the considered time interval. Taking the binomial approach it is up to you to change volatility whenever you want. For sure, the binomial tree can become more complicated, e.g. if you have to change from a recombining to a non-recombining binomial tree. But with computer support also a more complicated event tree is no problem.
• Exercise price: The exercise price at a node is the time value of the corresponding future cash flows which do not depend on the market development and are not diversiviable (mainly investments, fixed expenses and fixed earnings). Each of these components can change in time. That means that the exercise price of the real option can be differerent in each period. In the Black Scholes Merton model the exercise price is the same over time. In case of changing exercise prices you have to use approximative (binomial) approaches.
• Discount rates: The discount rate includes many parameters like risk free rate, non-diversifiable market risks of the cash flow, the investor’s capital structure, the investor’s opportunity portfolio and tax shields. All these parameters can vary over time, and hence change the discount rate. If the discount rate changes, you might get a non-recombining binomial tree. Take care that the discount rate in each period has to match the expected values of the binomial tree branches in each period.
• Decision tree: The decision tree does not have to be a complete binomial tree as required at the approximation of the Black Scholes Merton approach. Some branches might not exist or there can be more than one possibility in a node of the binomial tree (tri- or multinomial trees). Sometimes these exceptions represent reality more accurately and can be calculated in a discrete model. But these cases are not an approximation of Black Scholes Merton model any more. The Black Scholes Merton model cannot handle such tasks.
• Time steps: Times between nodes of an event tree can be different at each link. You can adapt the times to your specific problem if required. The nodes of the event tree can for example be determined by the decision time of the investment project. At the Black Scholes approach the temporal development is fixed by the input parameters. There is no possibility to adapt it anyway. In the binomial approach you can adapt time steps as required by the corresponding problem.

In general, the (binomial) approximative approaches are much more flexible and can be adjusted to the specific problem. With specific input parameters the binomial model is an exact approximation of the Black Scholes Merton model. But many times the input parameters describing reality are different. Black Scholes Merton comes from financial option markets, where situations are less complex as at real options many times. The binomial approach is much more suitable for real option analysis. Because of the inaccuracy of many input variables at real options, the approximative character of the binomial model does not distort the result mostly.

## Binomialmodell Wahrscheinlichkeiten

Joachim Kuczynski, 24. Oktober 2023

## Einleitung

In diesem Artikel möchte ich die Abhängigkeit des Optionswerts von der Eintrittswahrscheinlichkeit der realen (binomialen) Zustände innerhalb des Modells von Cox, Ross and Rubinstein darstellen. Auch in der Literatur ist mancherorts zu lesen, dass die risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten und damit die Optionswerte nicht von den Wahrscheinlichkeiten der Realzustände abhängen. Die Optionswerte hängen aber implizit sehr wohl von ihnen ab. Dies möchte ich in diesem Post kurz darstellen und herleiten.

## Binomialmodel von Cox, Ross und Rubinstein

Optionen können mit dem Binomialmodell von Ross, Cox and Rubinstein bewertet werden. Der Optionswert zum Zeitpunkt ist:

and sind die Optionswerte der up und down Entwicklungen zum Zeitpunkt . ist der risikofreie (bzw. zuschlagsfreie) Zinssatz und T die Zeit zwischen und . ist hierin die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit der up Bewegung in , ist die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit der down Bewegung in . Das Binomialmodel stellt uns folgende Beziehung zur Verfügung:

Einsetzen von liefert uns diese Darstellung für :

Nach einer kleinen Umformung erhalten wir:

und sind definiert als die Verhältnisse von up und down Entwicklung zum Erwartungswert des Zustands in , :

Bis jetzt sind die Wahrscheinlichkeiten von Zustand up und Zustand down nicht vorgekommen. Vielfach wird nun argumentiert, dass die Wahrscheinlichkeiten der beiden Realzustände den Optionswert nicht beeinflussen. Dies stimmt nicht. Der Erwartungwert von Zustand und damit von hängen von diesen Wahrscheinlichkeiten ab. Der Erwartungswert des Zustands in ist der diskontierte Wert des Zustands in . Mit als jährlichen kostanten Diskontierungsrate erhalten wir:

Für und erhalten wir:

Das Endergebnis lautet nun:

Dies ist die grundlegende Beziehung zwischen Optionswert zum Zeitpunkt und expliziten problemspezifischen Variablen.

## Ergebnis

Wir sehen, dass der Optionswert explizit von den Wahrscheinlichkeiten und der realen up und down Zustände abhängt. Das wollten wir zeigen. q.e.d.

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